[이산수학] 행렬과 행렬식

행렬과 행렬식의 개념을 정의하고 그와 관련된 전반적인 논제에 대해 학습합니다

행렬과 행렬의 연산

선형방정식의 풀이는 여러 가지 공학적인 문제들의 해결에 매우 중요

행렬은 선형방정식을 간단하게 표현할 수 있으며, 보다 쉽게 연산이 가능하도록 해줌

행렬식은 행렬을 통한 응용에 있어서 매우 유용한 도구를 제공해줌

행렬

행렬은 수 또는 문자를 배열의 형태로 나타내는 것

행렬은 m개의 행과 n개의 열을 가지고 있음

i와 j를 통해 행과 열을 표시하여 해당 행렬의 값을 찾아갈 수 있음

#1 행렬의 크기

m x n의 행렬과 같이 m, n으로 행렬의 크기를 나타냄

#2 행벡터, 열벡터

각 행은 가로의 n 순서쌍 → 행벡터

각 열은 세로의 m 순서상 → 열벡터

#3 정방행렬

행과 열의 개수가 같은 경우 → 정방행렬

n개의 행과 n개의 열 → n차 정방행렬

이 때 행과 열의 숫자가 같은 a11, a22, … , ann는 A의 주대각선 상에 존재

#4 행렬의 합과 스칼라 곱

행렬 간의 합 그들의 같은 크기의 행렬일 때 정의

행렬의 합은 해당 행렬의 행과 열이 같은 곳의 합으로 정의

→ 같은 크기의 행렬을 각각의 성분끼리 더하는 것

행렬의 차는 합과 같이 각각의 성분의 차를 구하는 것

행렬의 스칼라 곱은 각각의 성분에 스칼라 값을 곱하여 얻는 값

행렬의 합과 스칼라 곱은 같은 크기의 행렬 A, B, C와 어떤 상수 c, d가 주어졌을 때 다음과 같은 연산법칙을 만족

(1) A + B = B + A (덧셈의 교환 법칙)

(2) ( A+B ) + C = A + ( B+C ) (덧셈의 결합 법칙)

(3) A + O = O + A (덧셈의 항등 법칙)

(4) A + (-A) = (-A) + A = O (덧셈의 역원)

(5) c( A+B ) = cA + cB (스칼라 곱의 배분 법칙)

(6) (c + d)A = cA + dA (스칼라 곱의 배분 법칙)

#5 행렬의 곱

두 행렬의 곱이 정의되기 위해서는 행렬 A의 열의 개수와 행렬 B의 행의 개수가 같아야함

m x r | r x n = m x n

위 식처럼 가운데 있는 수 r이 같을 때 행렬의 곱이 성립하며 이 때의 곱의 값은 새로운 행렬로 이루어짐

→ 행렬의 곱셈 교환법칙이 성립하지 않는 이유임

A가 m x n 행렬이고 , B와 C는 행렬의 합과 곱에서 정의된 크기를 만족한다고 가정하고 k가 어떤 스칼라 값일때 다음의 식들이 성립

(1) A(BC) = (AB)C (곱셈의 결합 법칙)

(2) A(B+C) = AB + AC (왼쪽 배분 법칙)

(3) (B+C)A = BA + CA (오른쪽 배분 법칙)

(4) k(AB) = (kA)b = A(kB) (스칼라 곱)

(5) IA = A = AI (행렬 곱셈의 항등식)

특수한 행렬

대각행렬

정방행렬에서 주대각선을 제외한 모든 항들이 0인 행렬을 대각행렬이라함

정방행렬 A의 주대각선 위의 모든 성분을 대각항이라 하고, 각 대각항의 합을 대각합이라함

대각행렬이면서 대각선의 항들이 모두 1인 n x n 행렬을 항등행렬 또는 단위행렬이라함

성분이 모두 0인 행렬을 영행렬이라고 함

전치행렬

행렬 A를 m x n 행렬이라할 때 각 성분의 행과 열을 바꾼 B행렬 n x m을 전치행렬이라함

대칭행렬과 교대행렬

어떤 정방행렬 n x n 행렬이 자신의 전치행렬과 같을 때 이 행렬을 대칭행렬이라고 함

전치 행렬의 -1 스칼라 곱과 원래의 행렬이 같은 행렬을 교대행렬이라고 함

삼각행렬

주대각선 아래에 있는 모든 항들이 0인 n x n 행렬 A를 상부삼각행렬

주대각선 위에 있는 모든 항들이 0인 n x n 행렬 A를 하부삼각행렬

이처럼 해당하는 행렬을 합쳐 삼각행렬이라 함

행렬의 기본 연산과 사다리꼴

#1 기본 행 연산

(1) 어떤 2개의 행을 서로 바꾼다

(2) 어떤 행에다 0이 아닌 상수를 곱한다

(3) 어떤 행에다 상수를 곱한후 다른 행에 더한다

행렬의 각 행에서 0이 아닌 가장 처음 나타나는 수를 사다리꼴 행렬에서의 피벗으로 삼을 수 있음

#2 행 사다리꼴

m x n 행렬 A가 기본 행 연산들을 거친 후 다음 3가지 조건을 만족시키면 행 사다리꼴이라 함

(1) 0으로만 이루어진 행들은 만약 있는 경우 행렬의 아래쪽에 나타냄

(2) 모두가 0은 아닌 행의 가장 왼쪽에 가장 처음 나타나는 0이 아닌 수를 피벗으로 삼음

(3) 모두가 0은 아닌 연이은 두 행이 있으면 아래쪽 행의 피벗은 위쪽 행의 피벗보다 오른쪽에 있음

기약 행 사다리꼴이 되기 위한 추가 조건

(4) 한 행의 피벗을 포함하는 열에는 피벗 이외의 항들은 모두 0

기약 행 사다리꼴을 만들기 위한 기본 행 연산방법

전항 단계 : 피벗의 아래부분이 0이 되도록 행 연산

후항 단계 : 피벗의 윗부분이 0이 되도록 행 연산

가우스 소거법 : 전항 단계까지의 연산 과정을 실행한 행 사다리꼴 소거법

가우스-조단 소거법 : 후항 단계까지의 연산과정을 실행한 행 사다리꼴 소거법

주어진 행렬을 행 사다리꼴로 만들었을 때 행 전체가 0이 아닌 행의 개수는 수학적으로 중요한 의미를 가지고 이를 행렬의 **계수(Rank)**라고 함

#3 행렬의 표현과 응용

행렬은 그래프의 표현이나 응용에 폭넓게 활용 가능

인접 행렬로 표현될 수 있음

→ 최단 거리 경로, 통신 네트워크, 그래프 이론 등 다양한 분야에 응용 가능

행렬식

행렬식 Det(A)는 정방행렬 A에 하나의 스칼라 값을 대응시키는 함수로 행렬의 수직 막대선을 그어 표현

사루스 공식에 따라 행렬식을 구할 수 있으며 2x2, 3x3 행렬식의 경우 해당 방법이 편리함

행렬식의 일반적인 성질

#1 행렬식의 성질

(1) n x n 행렬 A에서 임의의 두 행이 같으면 행렬식의 값은 0

(2) n x n 행렬 A에서 임의의 두 행을 서로 바꾸어서 만든 행렬을 B라고 하면 Det(B) = - Det(A)

(3) 행렬 A의 행렬식의 값은 그 전치행렬의 행렬식과 값이 같음

(4) A와 B가 n x n 행렬이면 곱의 행렬식은 행렬식의 곱과 같음

Det(AB)= Det(A) x Det(B)

(5) 행렬식의 어떤 행의 각 원소에 같은 수 k를 곱하여 얻은 행렬식은 처음 행렬식에 k를 곱한 것과 같음

(6) n x n 행렬 A의 한 행에 있는 모든 원소가 0이면 Det(A) = 0

#2 기본 행 연산을 통한 행렬식의 계산

행렬식을 구하기 위해 앞에 나온 행렬식의 성질들을 이용하더라도 4차 이상의 정방행렬의 경우 매우 복잡하며 시간도 오래 걸림

기본 행 연산을 통한 행렬식의 성질을 활용하면 보다 편리하게 값을 구할 수 있음

(1) 한개의 행에 k배를 한 행렬식은 원래 행렬식의 k배와 같음

(2) 두개의 행을 교환한 행렬식은 원래 행렬식에서 부호만 바뀜

(3) 한개의 행에 k배를 하여 다른 행에 더하여 만든 행렬식은 원래의 행렬식과 같음

역행렬

#1 역행렬

역행렬이란 스칼라 값에서 곱셈에 대한 역원과 유사한 개념으로

행렬 A와 B가 n x n 행렬일때, AB = BA = I가 존재하는 경우 가역적이라고 하며, 이때 B행렬을 A의 역행렬이라고 함

#2 역행렬을 구하는 방법

첨가행렬 : 주어진 행렬의 오른쪽에다 추가적으로 첨가하여 만드는 행렬

가우스-조단의 역행렬을 구하는 방법

(1) 원래의 A행렬에다 항등행렬 I를 첨가하여 첨가행렬을 만듬

(2) 행렬 A 부분이 항등행렬로 바뀔 때까지 행 연산을 계속

(3) A가 가역적 행렬인지 판단 → 가역적일 경우 첨가한 I 위치에 연산 후에 남아있는 행렬이 역행렬

선형방정식의 해법

Ax =b이므로 A를 오른쪽으로 넘기면 x =A^-1b가 됨

→ 주어진 행렬의 역행렬을 알 때 선형시스템의 해를 구할 수 있음

행렬과 행렬식을 이용하여 여러 가지 연산 방법을 알아보고 해당 연산을 통해 선형방정식의 해법까지 알 수 있음